Счастье для меня

[avysk]

Вдогонку к задачке про точки &mdash как я вдруг понял, бесконечный набор на единичной окружности строится запросто. Так что остался лишь вариант со "всюду плотное". Впрочем, есть ещё промежуточный вариант с "неограниченное".

Update: Также очевидно, что бесконечного множества не на прямой с целочисленными попарными дистанциями не существует.

Comments

[slobin.livejournal.com]

Последовательно пришедшие в голову мысли:

1. Я пока не вижу, как получить решение но окружности, но, если оно есть, кто мешает сделать инверсию с центром где-то на самой окружности и получить неограниченное решение? (Инверсия сохраняет рациональность расстояний)
2. Блин, облом: получится прямая.
3. Зато теперь я вижу, как получить решение на окружности! ;-)

... Кот, каверзник коварный, кибэротоман ...

[slobin.livejournal.com]

Вдогонку: от гугля тоже польза бывает.

... Какой я математик? Я флюктуация. ...

[avysk]

С какой это стати инверсия сохраняет рациональность расстояний -- если мы говорим не о прямой, проходящей через центр инверсии?

Расстояние между (1, 0) и (1, 1) вполне рационально, а после инверсии относительно единичной окружности с центром в (0, 0) они превращаются в (1, 0) и (√2/2, √2/2). Квадрат расстояния становится (1-√2/2)² +1/2 -- ни разу не рациональный.

[avysk]

Ах, какая жалость... :(

[avysk]

Даже и на прямой, проходящей через центр инверсии, не сохранит.

(√2,0) и (√2+1,0). Расстояние 1. Инверсия относительно единичной окружности, с центром в начале координат. Результат -- (√2/2,0) и (√2-1,0). Расстояние -- 1 - √2/2, иррационально.

[slobin.livejournal.com]

Фу-х. Запутали Вы меня. Точка (1,1) после инверсии отображается не в (√2/2, √2/2), а в (1/2, 1/2). Расстояния от центра √2 и √2/2 соответственно. А та точка, которую Вы указали, лежит на самой окружности. Хотя да, это не спасает, расстояние всё равно иррациональное. Но это потому, что я писал "по горячим следам" и в спешке опустил часть необходимых условий. Вот что на самом деле имелось в виду:

Рассмотрим инверсию "нашей" окружности относительно "другой" окружности с рациональным (ну, скажем, единичным) радиусом, центр которой лежит на "нашей" окружности, причём (важно!) на одной из точек интересующего нас множества. Если расстояние от центра "другой" окружности (он же центр инверсии) до обоих интересующих нас точек рационально (по условию), расстояние между ними рационально (по условию), и радиус инверсии рационален -- то вроде бы и итоговое расстояние должно получится рациональным.

|A¹B¹| = |AB|×R² / |OA|×|OB|

Теперь, кажется, правильно. Не соображу только посреди ночи, как записать эти условия "в обратную сторону" -- для прямой.

... Не думайте, пожалуйста, не думайте ...

[avysk]

Ну да, (1/2, 1/2). Остальное буду с утра читать, а то я уже тут насчитал √2/2 :-)

[slobin.livejournal.com]

Ага! А я фиг заснул, всё пытался развернуть условия. В итоге получился вот такой алгоритм построения любого числа точек с попарно рациональными расстояниями на окружности:

Начинаем с прямой y=1. Потом берём любой пифагоров треугольник и масштабируем его, чтобы второй катет стал равным единице. Например, (4,3,5) превращаем в (4/3, 1, 5/3). Ставим на прямой точку (4/3, 1). Инвертируем её относительно единичной окружности и получаем образ (12/25, 9/25). Образ лежит на окружности с центром в (0, 1/2) и радиусом 1/2. Потом проделываем то же самое с треугольником, ну например, (12, 5, 13) → (12/5, 1, 13/5) → (12/5, 1) → (60/169, 25/169). Эта точка лежит на той же "маленькой" окружности. На всякий случай берём калькулятор и убеждаемся, что расстояние между двумя итоговыми точками равно 16/65. "Нанести шампунь, смыть, повторить процедуру".

... Полставки верховного главнокомандующего ...

[slobin.livejournal.com]

Кстати, заодно мы получили ещё одно решение исходной задачи, если понимать её формулировку буквально: бесконечное множество точек на прямой y=1 И точка (0,0) вместе на одной прямой не лежат! ;-)

... Не дудите котов! ...

[andrey-bovykin.livejournal.com]

Кстати, Алексей,

почему-то вспомнилось... есть такая записка написанная в 1933 году одним человеком (кем? - не догадаетесь!),
в которой доказывется несложный факт: для любых четырех точек в R^3, не лежащих на одной плоскости, существует сфера и четыре точки на ней, такие, что расстояния между ними, измеренные по сфере равны расстояниям между соответствующими исходными точками.

[avysk]

Не догадаюсь. Почему-то пришёл в голову Минковский, но для него 1933 год поздновато, если я правильно помню.

[andrey-bovykin.livejournal.com]

Гёдель.

[ramendik]

Имеется в виду, что мы исключаем из прямой все точки, от которых расстояния до (0,0) или (0,1) иррациональны?

[slobin.livejournal.com]

Нет. Формулировка задачи была "множество точек, не лежащих на одной прямой". Множество точек, лежащих на одной прямой, ПЛЮС одна точка ВНЕ этой прямой, ВМЕСТЕ образуют множество, на одной прямой НЕ лежащее.

... Посетителей не будят ...