Удивительное рядом: помогите, кто может!

[avysk]

Мне пришёл в голову вопрос по математике, который кажется или очень простым, или очень сложным. Но я что-то торможу, и никак не пойму, простой он или сложный. Помогите, кто может, а то я сплю плохо.

Вопрос: Существует ли на плоскости бесконечное множество точек, такое что (1) они не лежат все на одной прямой (2) расстояние между любыми двумя рационально. Вариант: "всюду плотное" вместо "бесконечное". Вариант: заменить плоскость на сферу или на "седло"; расстояние мерить, естественно, внутри многообразия, а не в R^3.

Comments

[nothern-wind.livejournal.com]

Хорошая задачка. Сейчас пытаюсь по индукции доказать первый вариант, т.к. для трёх и четырёх точек точно выполняется.
Всюду плотное по предварительным прикидкам не получится, про остальное не думала.

[nothern-wind.livejournal.com]

а, ой. Ответ уже есть. %)