Удивительное рядом: помогите, кто может!

Мне пришёл в голову вопрос по математике, который кажется или очень простым, или очень сложным. Но я что-то торможу, и никак не пойму, простой он или сложный. Помогите, кто может, а то я сплю плохо.

Вопрос: Существует ли на плоскости бесконечное множество точек, такое что (1) они не лежат все на одной прямой (2) расстояние между любыми двумя рационально. Вариант: "всюду плотное" вместо "бесконечное". Вариант: заменить плоскость на сферу или на "седло"; расстояние мерить, естественно, внутри многообразия, а не в R^3.

Счастье для меня

Вдогонку к задачке про точки &mdash как я вдруг понял, бесконечный набор на единичной окружности строится запросто. Так что остался лишь вариант со "всюду плотное". Впрочем, есть ещё промежуточный вариант с "неограниченное".

Update: Также очевидно, что бесконечного множества не на прямой с целочисленными попарными дистанциями не существует.